Esperimenti Frattali con Mathematica
Progressione di ingrandimenti nell'insieme di Mandelbrot, di equazione ricorsiva: $z_k=z_{k-1}^2+c$, fino e oltre l'isola di Julia alle coordinate: -0.743643887037151 + 0.131825904205330 i.
Tempo di calcolo (in parallelo): 9.22 min
Hardware: i5 3570k 3.4 GHz 4core 4 thread, 16 Gb RAM
Il numero massimo di iterazioni e la sequenza di zoom dipendono dalla legge armonica $10^{i/5}, i=1, \dots, 5$.
Segue il codice Mathematica.
Somma di frequenze ravvicinate
Animazione ottenuta variando, uno alla volta, diversi parametri.
Si può notare come un segnale composto da più frequenza si comporta al variare di esse specialmente quando le frequenze sono ravvicinate.
Interessate il collegamento con il principio di indeterminazione per il quale non si può pretendere di localizzare in uno spazio preciso una particella e nello stesso tempo conoscerne il momento, in questo caso rappresentati rispettivamente dal grafico e dalla somma di frequenze.
Fortran strikes again
Porto un nuovo aggiornamento riguardo al lavoretto di programmazione con cui ora è possibile plottare grafici a due variabili nella scala di colori RGB 16 bit chiamata spettro.
Ecco degli esempi di dimensione 128x128 pixel ovvero 16384 valutazioni.
Ora l'idea di scrivere un mio programma completo per graficare funzioni non sembra così lontana...
Here the maps of 2-variables equations calculated by a unusual fortran program.
The first map is the 4096-color representation of a trigonometric function in a [-3:3] interval for x and y.
The second one represents two smooth pikes at the center of the xy plane.
Ora l'idea di scrivere un mio programma completo per graficare funzioni non sembra così lontana...
Here the maps of 2-variables equations calculated by a unusual fortran program.
The first map is the 4096-color representation of a trigonometric function in a [-3:3] interval for x and y.
The second one represents two smooth pikes at the center of the xy plane.
Un po' di calcolo differenziale applicato
Contrariamente a quanto si può intuire dal titolo di questo post, le cose non sono molto complicate.
L'idea è quella di formulare un modello capace di descrivere, entro certi limiti, il comportamento di una certa quantità di una sostanza versata in un punto di un fiume.
Il primo passo è quello di decidere quali informazioni scegliere, a volte tanti dati non aiutano affatto.
Perciò pensandoci per un pomeriggio ho deciso di seguire due strade.
Primo modello
Il fiume ha una sezione costante perciò lo sono anche portata e velocità della corrente.
In ogni sezione la concentrazione della sostanza è uniforme.
Con il passare del tempo la sostanza viene trascinata a valle dalla corrente e una certa parte viene persa in modo inversamente proporzionale al tempo. Questo ricorda la funzione detta del trasporto ma ne è chiaramente una versione modificata.
La massima concentrazione della sostanza si ha chiaramente all'inizio ed è fissata grazie al parametro "a".
La concentrazione ha un comportamento nella dimensione dello spostamento che segue una legge esponenziale negativa (tipo campana). In questo caso ho liberamente scelto di impostare così il problema:
Si nota però che questa equazione presenta qualche problema quanto il tempo e la posizione sono inferiori all'unità, perciò il modello è affidabile per t≥1 e la condizione iniziale si ha quando anche x=1
Secondo modello
Questa volta il fiume ha una forma definita da 2 leggi che ne regolano la larghezza e la profondità in funzione dello spostamento. Ho fatto questa scelta per movimentare un po' la velocità della corrente del fiume che approssimo come l'inverso della portata. Nella seguente immagine è possibile vedere l'andamento della velocità (rosso), della portata (blu) e la forma del fiume di cui è rappresentato il letto.
Le leggi usate sono: h=profondità, l=larghezza, v=volume
Il calcolo del volume d'acqua serve a misurare la concentrazione della sostanza man mano che si diluisce in acque pulite. Un'ulteriore fattore considerato è anche in questo caso, la perdita di sostanza ma stavolta in funzione dello spostamento approssimando il tempo: spostamento su velocità come spostamento per portata.
L'equazione che può descrivere tutti questi dati si è fatta più delicata della precedente perché rimane in forma differenziale (primo ordine) dato che non so proprio come calcolare un integrale così contorto...
Divagazione sull'analisi in serie di Fourier
Questo gradevole disegno è la composizione di due curve chiuse espresse da somme di funzioni trigonometriche derivate dallo studio delle famose onda quadra, triangolare etc...
In particolare la stella centrale è una somma fino a n=2 della funzione che tende all'onda quadra ma curvata attorno ad un punto centrale, in coordinate polari:
For english-speakers friends, this graphic is made (with few retouch), by 2 real functions in polar coordinates, the star in the center is a curved version of the famous square-wave stopped at the second harmonic, while the outer wave ring is the sine-wave dumped, bended and repeated 5 times.
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