Contrariamente a quanto si può intuire dal titolo di questo post, le cose non sono molto complicate.
L'idea è quella di formulare un modello capace di descrivere, entro certi limiti, il comportamento di una certa quantità di una sostanza versata in un punto di un fiume.
Il primo passo è quello di decidere quali informazioni scegliere, a volte tanti dati non aiutano affatto.
Perciò pensandoci per un pomeriggio ho deciso di seguire due strade.
Primo modello
Il fiume ha una sezione costante perciò lo sono anche portata e velocità della corrente.
In ogni sezione la concentrazione della sostanza è uniforme.
Con il passare del tempo la sostanza viene trascinata a valle dalla corrente e una certa parte viene persa in modo inversamente proporzionale al tempo. Questo ricorda la funzione detta del trasporto ma ne è chiaramente una versione modificata.
La massima concentrazione della sostanza si ha chiaramente all'inizio ed è fissata grazie al parametro "a".
La concentrazione ha un comportamento nella dimensione dello spostamento che segue una legge esponenziale negativa (tipo campana). In questo caso ho liberamente scelto di impostare così il problema:
Si nota però che questa equazione presenta qualche problema quanto il tempo e la posizione sono inferiori all'unità, perciò il modello è affidabile per t≥1 e la condizione iniziale si ha quando anche x=1
Secondo modello
Questa volta il fiume ha una forma definita da 2 leggi che ne regolano la larghezza e la profondità in funzione dello spostamento. Ho fatto questa scelta per movimentare un po' la velocità della corrente del fiume che approssimo come l'inverso della portata. Nella seguente immagine è possibile vedere l'andamento della velocità (rosso), della portata (blu) e la forma del fiume di cui è rappresentato il letto.
Le leggi usate sono: h=profondità, l=larghezza, v=volume
Il calcolo del volume d'acqua serve a misurare la concentrazione della sostanza man mano che si diluisce in acque pulite. Un'ulteriore fattore considerato è anche in questo caso, la perdita di sostanza ma stavolta in funzione dello spostamento approssimando il tempo: spostamento su velocità come spostamento per portata.
L'equazione che può descrivere tutti questi dati si è fatta più delicata della precedente perché rimane in forma differenziale (primo ordine) dato che non so proprio come calcolare un integrale così contorto...
